Loading... # 普通物理2 [TOC] # lecture 1 静电场 恒定电流场 ## 1.库伦定律 $$ F_2=K\frac{q_2q_1}{r^2_{21}}\vec {r_{21}}\\ K\equiv\frac{1}{4\pi\varepsilon} $$ 适用范围:真空、静止、点电荷 ### 电荷系统的能量 静电力是保守力。让一个电荷在电场力转圈,是不损失能量的。 一切能量都是完全可以相互转换的 保守力:做功和路径无关 ### 叠加原理 实验证明,两个静止点电荷之间的相互作用力不因第三个静止点电荷的存在而改变;由N个静止点电荷q1,q2,q3,…,qi,…, qN 组成的系统,作用到静止点电荷q0上的库仑力可以表为: $$ \vec F=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}q_0\sum^N_{i=1}\frac{q_i}{r^2_{0i}}\vec{r_{oi}} $$ ## 2.电场 $$ \begin{aligned} & \vec{E}_i=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\vec{r}-\vec{r}_i}{\left|\vec{r}-\vec{r}_i\right|^3}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\left(x-x_i, y-y_i, z-z_i\right)}{\left[\left(x-x_i\right)^2+\left(y-y_i\right)^2+\left(z-z_i\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}} \\ & \vec{E}=\sum_{i=1}^n \vec{E}_i \end{aligned} $$ 对于点电荷的电场 : $\vec{E}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \sum_{i=1}^N \frac{q_i}{r_{0 i}^2} \overrightarrow{r_{o i}}$ $$ \nabla \times \vec{E}=0, \nabla \cdot \vec{E}(\vec{r})=0(\vec{r} \neq 0) $$ 对于连续分布的电荷 : $E(x, y, z)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon} \int \frac{\rho\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right) d x^{\prime} d y^{\prime} d z^{\prime}}{r^2} \vec{r}$ ## 3.电场线 电场线的两大性质: ①电场线永不相交(否则就意味着电场存在两个独立的电场矢量,这是违背实验事实的) ②电场线切线方向即为电场力方向 这就意味着,电场线有三种模式: 1.无限远到场源电荷的点(电荷量为负的场源电荷)、 2.场源电荷的点到无限远(电荷量为正的场源电荷)、 3.场源电荷的点到另一个场源电荷的点(电荷量为正的场源电荷到电荷量为负的场源电荷)。 ## 4、电通量 Flux $$ \phi=\int_S\vec E\cdot d\vec S $$ ![image-20220919104909056](https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20220919104909056.png) 在一个孤立的正点电荷产生的电场中,任意曲面,通过该表面的通量为$\displaystyle \frac{q}{\varepsilon_0}$ ## 5、高斯定理 Gauss’ Law 真空中静电场的高斯定理:通过任意闭合曲面(或称高斯面)a 的电通量等于该面内全部电荷的代数和Q除以$\varepsilon_0$,与面外的电荷无关。 $$ \oiint_S\vec{E}\cdot d\vec{a}=\frac{1}{\varepsilon_0}\iiint_V\rho dv=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_iq_i $$ (1)通过包围点电荷q的闭合曲面的电通量都等于$\frac{q}{\varepsilon_0}$ (2)通过不包围电荷的任意曲面的电通量都等于0 (3)多个点电荷的电通量等于它们单独存在时电通量的代数和 因此可以计算下列情形的电场: #### 均匀带点球面 $$ \vec{E_内}=0,\vec{E_外}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec e_r $$ #### 均匀带点球体 $$ \vec{E_内}=\frac{qr}{4\pi\varepsilon_0R^3}\vec{e_r},\vec{E_外}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec e_r $$ #### 无限长均匀带电直线 $$ \vec{E}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r^2}\vec e_r $$ #### 均匀带点球体 $$ \vec{E_内}=0,\vec{E_外}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\vec e_r $$ #### 无限大均匀带电平面 $$ \vec{E}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} $$ ## 6.散度 $$ div\vec{v}=\nabla\cdot\vec{v}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} $$ 数学高斯定理:矢量函数的散度的体积分等于函数的面积分,即: $$ \oiint\vec{E}d\vec{a}=\iiint_V div\vec{E}d v $$ 电场高斯定理 $$ \int_V\nabla \cdot E dv=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho\ dv $$ 对于点电荷电场的散度 $$ \nabla \cdot E(\vec r)=0,\vec r\neq 0\\ $$ 当 $\vec r =0$时,点电荷电场的散度是多少呢? 由散度定理 $$ \oiint\vec{E}d\vec{a}=\iiint_V \nabla \cdot \vec{E}d v=4\pi \frac{r^2}{r^2}=4\pi $$ 而$\nabla \cdot \vec E在\vec r\neq0 地方都等于0\Rightarrow \nabla \cdot E=4\pi \delta$ (**狄拉克δ函数**是一个广义函数,在物理学中常用其表示质点、点电荷等理想模型的密度分布,该函数在除了零以外的点取值都等于零,而其在整个定义域上的积分等于1) ## 7.旋度 设光滑向量场$v(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k$ $$ \oint_L Pdx+Qdx+Rdz\\=\iint_S(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\iint_S\nabla \times \vec{F}d\vec S $$ 电场 $\vec E$ 是一种特殊的向量函数,旋度总是为零$\Rightarrow rot \vec E=0$ ## 8.电势 首先电场是一种无旋场,保守场 在向量微积分中我们获得结论:任意旋度为零的向量等于某个数量场的梯度 $$ \nabla\times \vec E=0\Leftrightarrow \vec E=-\nabla \phi $$ 电势是电场的线积分 $$ \phi (b)-\phi (a)=\int^b_a(\nabla \phi )\cdot d\vec l=-\int^b_a\vec E\cdot d\vec l $$ $$ \phi (r)=\sum^n_{i=1}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac q{|\vec r-\vec r_i|} $$ **电势叠加原理:** 点电荷组在电场中某点的电势,是各个点电荷单独存在时的 电场在该点电势的代数和。 ## 9.带电绝缘体的能量 绝缘体能量密度 $$ w=\frac{1}{2}\phi \sigma=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2(J\cdot m^3) $$ ## 泊松方程Poisson's Equation 由电势的微分形式: $$ \vec E=-\nabla \phi $$ 将电场$\vec E$的散度与旋度带入: $$ \nabla\cdot\vec E=\frac\rho{\varepsilon_0}\ and\ \nabla\times \vec E=0\\ \nabla\cdot\vec E=\nabla\cdot(-\nabla \phi )=-\nabla^2 \phi $$ 得到 $$ \nabla^2 \phi =-\nabla\cdot \vec{E}=-\frac{\rho}{\varepsilon_0} $$ ## 拉普拉斯方程 当电荷密度$\rho=0$时,泊松方程就变为拉普拉斯方程: $$ \nabla^2 \phi =0 $$ ![img](https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/v2-87d116cc29fa175a5a1622fbd6e6b050_1440w.webp) # Lecture 3 ## 10.1 电介质 电容 $\displaystyle C=\frac{k\varepsilon_0A}{s}$ k:电介质系数 <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221007155747251.png" alt="image-20221007155747251" style="zoom:50%;" style=""> ## 2.偶极子(Dipoles) <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221010105040471.png" alt="image-20221010105040471" style="zoom: 50%;" style=""><img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221010105223270.png" alt="image-20221010105223270" style="zoom: 50%;" style=""><img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221010105538862.png" alt="image-20221010105538862" style="zoom:50%;" style=""> $$ \phi_P=\frac{kq}{r_1}-\frac{kq}{r_2} $$ $$ 当r>>\frac l 2时,r_1=r-\frac l2cos\theta,r_2=r+\frac l2cos\theta\\ \phi(r,\theta)=\frac{kq}{r-\frac{l\cos \theta}{2}}-\frac{kq}{r+\frac{l\cos\theta}{2}}=\frac{kq}{r}[\frac{1}{1-\frac{l\cos\theta}{2r}}-\frac{1}{1+\frac{l\cos\theta}{2r}}]\\ \approx\frac{kq}{r}[(1+\frac{l\cos\theta}{2r})-(1-\frac{l\cos\theta}{2r})]\\ =\frac{kqlcos\theta}{r^2}\equiv\frac{ql\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2}\equiv\frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2} $$ 偶极子在匀强电场中受到的力矩为$N=p\times E$,方向从负电荷指向正电荷 在非均匀电场中受到的力$F_x=p\cdot \nabla E_x$ ## 3.电介质的极化 极性分子存在**固有电矩**,非极性分子没有固有电矩 所有分子都在外电场下有**感生电矩** 但是实验室产生的感生电矩一般是固有电矩的$10^{-5}$倍 分子的固有电矩会随外电场的增强而排列的更加整齐: 当电介质电场不太强的时候,**各向同性**的电介质的电极化强度$\vec P$和$\vec E$成正比,其关系可以表示为 $$ \vec P=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)\vec E $$ 该式子会在下面《电极化率》中证明 ## 4.电极化密度 ### (1)极化物质外的场 假设:分子聚集形成一块物质,内部分子的极化方向都相同 **定义极化密度** $$ P\equiv pN=\frac{\int_V P}{V} $$ $N$为每立方米内的偶极子数量 假设把极化材料做成一个细长柱,其截面为$da$,垂直高度从$z_1$延伸到$z_2$。 <img src="C:\Users\lcf\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20221010203100873.png" alt="image-20221010203100873" style="zoom: 33%;" style=""> 高度为dz的体积元具有偶极矩$Pdv=Pdadz$,参考以前求偶极子电势的式子,则A点的电势可以写成 $$ d\phi_A=\frac{Pdadz\cos\theta}{4\pi \varepsilon_0 r^2} $$ $$ \phi_A=\frac{Pda}{4\pi\varepsilon_0}\int^{z_2}_{z_1}\frac{dz\cos\theta}{r^2} $$ 由于$dz\cos\theta=-dr$ $$ \phi_A=\frac{Pda}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1})\Rightarrow和两个点电荷在A点产生的电势表达式一致 $$ (假设条件是A到圆柱上任何点的距离要远大于偶极子的大小) 于是柱体产生的电势与柱体的高度z无关 推广到平面上,极化物质等效于场外足够远处相连的两个面密度为$\sigma=P$的电荷片 ### (2)极化物质内的场 <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221011100726295.png" alt="image-20221011100726295" style="zoom:33%;" style=""> 定义电场强度的空间平均值 $$ \lang E\rang_V=\frac{1}{V}\int_V\vec{E}dv=-\frac{P}{\varepsilon_0} $$ 因此,由电极化效应产生的电场 $$ E_{in}=-\frac{P}{\varepsilon_0} $$ ### (3)极化球体的场 一个由极化物质组成的球相当于2个中心相距s的均匀电荷分布的电荷量分别为q和-q的球。 而中心相距为s的两个总电荷为q和-q的圆球叠加后产生的球外电场和相距s的两个点电荷Q和-Q产生的外电场一样,恰好是一个偶极矩为p0=Qs的偶极子 $$ p_0=Qs=\frac{4\pi}{3}r_0^3Nqs=\frac{4\pi}{3}r_0^3P $$ **1.均匀极化球的内电场** $$ \phi=p_0\frac{\cos \theta}{3\varepsilon_0}=\frac{Pr_0\cos \theta}{3\varepsilon_0}=\frac{Pz}{3\varepsilon_0} $$ 内部电场 $$ E_z=-\frac{\partial\phi_{in}}{\partial z}=-\frac{\partial}{\partial z}(\frac{Pz}{3\varepsilon_0})=-\frac{P}{3\varepsilon_0} $$ **2.均匀极化球的外电场** 根据偶极子: $$ E_z=\frac{p(3\cos ^2\theta -1)}{4\pi\varepsilon_0r^3} $$ $\theta =0时$ $$ E_z=\frac{2P}{3\varepsilon_0} $$ ## 5.电极化率 <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221012102714349.png" alt="image-20221012102714349" style="zoom:50%;" style=""> 情景假设:在真空之间的平行板电容器间充满介电系数为$\kappa$的介质 (1)电源电压不变,距离不变 $$ 电介质内的电场E=\frac{\phi_{12}}{s},不变 $$ (2)电压不变,电容变为原来的$\kappa$倍 $$ Q'=C'U=\kappa CU=\kappa Q $$ (3)电介质中的电场等于电容器产生的电场和电介质产生的电场的叠加 $$ \begin{align*} E&=E'+E_{in}\\ E&=\kappa E+(-\frac{P}{\varepsilon_0})\\ \frac{P}{\varepsilon_0E}&=\kappa-1\equiv X_e \end{align*} $$ 其中$X_e$被称为**电极化率** $$ X_e=\frac{P}{\varepsilon_0 E}=\kappa -1 $$ 即 $$ \vec P=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)\vec E=\varepsilon_0(\kappa-1)\vec E $$ 注意:这里的电场$\vec E$为总电场,包括了电极化产生的电场 ## 6.电位移矢量 高斯定理是在库伦定律(真空)的基础上推导出来的,而在有电介质的情况下,应该考虑到电介质产生的极化电荷 极化电荷是电介质 $$ \oiint_S \vec P\cdot d S=-\sum_{S内}q' $$ 在有电介质的情况下,高斯定理: $$ \oiint_S \vec E\cdot d \vec S=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_{S内}(q_0+q') $$ 代入上式得: $$ \oiint_S(\varepsilon_0\vec E+\vec {P})\cdot d\vec S=\sum_{S内}q_0 $$ 定义 电位移矢量$\vec D=\varepsilon_0 \vec E+\vec P$ $$ \oiint_S \vec D\cdot d \vec S=\sum _{S内}q_0 $$ 而$\vec P=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)\vec E$ $$ \vec D=\varepsilon_0\kappa \vec E $$ ## 7.电介质中的电场和真空中电场对比 $$ \oiint_S \vec D\cdot d \vec S=\sum _{S内}q_0=\varepsilon_0\oiint_S {\vec E_0}\cdot d \vec S $$ $$ \oiint_S(\varepsilon_0\vec E+\vec {P})\cdot d\vec S=\oiint_S(\varepsilon_0\vec E+\varepsilon_0(\kappa-1)\vec E)\cdot d\vec S=\oiint_S \varepsilon_0(\kappa\vec E)\cdot d\vec S=\varepsilon_0\oiint_S {\vec E_0}\cdot d \vec S $$ 所以 $$ \vec E=\kappa \vec E_0 $$ # Lecture 4 电流(定向运动的电荷) ## 1.电流强度和电流密度 ### (1)电流强度 $$ 定义式I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}\\ 决定式I=\frac{U}{R}\\ 微观表达式I=nq\vec{u}\vec{a}\\ 1A=1C/s $$ ### (2)电流密度 当不同粒子穿过同一截面的时候 电流强度$I$的微观表达式可写成 $$ I_a=n_1q_1\vec{a}\vec{u_1}+n_2q_2\vec{a}\cdot \vec{u_2}+\cdots=\vec a \cdot\sum_k n_kq_k\vec{u_k}\\ $$ 即定义电流密度$\vec{J}$ $$ \vec{J}=\sum_k n_kq_k\vec{u_k} $$ ## 2.稳恒电流和电荷守恒 通过任何一个界面的电流I是一个面积分: $$ I=\int_S \vec J\cdot d\vec a=\frac{\Delta Q}{\Delta t}=\frac{\partial\int_V\rho dv}{\partial t} $$ 由高斯定理(散度定理) $$ \nabla \cdot J=-\frac{\partial \rho}{\partial t}=0(电荷分布和时间无关) $$ 得出局域电流守恒定律:如果某个位置的电荷量不会减少,也不会有电荷流出这个区域. ## 3.电导率和欧姆定律 在较大范围的电场强度下,电流密度和电场强度成正比(电场太大的情况下,该定律失效 ) $$ \vec{J}=\sigma \vec{E} $$ $\sigma$被称为这种材料的电导率,它的值和材料有关 $$ R=\frac{V}{I}=\frac{\int_L\vec{E}dl}{\int_S\vec{J}da}=\frac{L}{A\sigma} $$ # lecture5 磁场 ## 磁场的定义 对运动电荷产生一个与其运动速度相关的力的场称为**磁场** 点的磁场用矢量$\vec B$来描述 对$\vec{B}$的定义如下: $$ \vec{F}=q\vec{E}+\frac{q}{c}\vec{v}\times \vec B $$ $\vec{F}被称为洛伦兹力$ $$ I=nqv $$ ## 导线在磁场中受力 <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221017215021779.png" alt="image-20221017215021779" style="zoom: 33%;" style=""> $$ d\vec{F}=dq\vec{v}\times\vec{B}=(\lambda dl)(\vec{v})\times\vec B\\ d\vec{F}=Idl\times B\\ F=I_2B_1l $$ ## 电流产生磁场(毕奥萨伐尔定律) 如上图所示,截取一小段电流元$Id\vec l$视为直线,考虑任意矢量$\vec r$末端的磁感应强度$\theta$,记$dB$与$Idl$的夹角为$\theta$. 实验证明,$dB$与$Idl$成正比,与$\sin \theta$成正比,与$r^2$成反比,即$\displaystyle dB\propto \frac{Idl\sin \theta}{r^2}$,记比例系数为$k$,则$\displaystyle dB=k\frac{Idl\sin\theta}{r^2}$ 这就是毕奥萨伐尔定律。这里的比例系数$k$,为$\displaystyle\frac{\mu_0}{4\pi}$ 利用向量叉乘,可以得到 $$ d\vec{B}=\displaystyle\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idl\times \vec{r}}{r^3} $$ ### 无限长直导线周围磁场 <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221018215908968.png" alt="image-20221018215908968" style="zoom:33%;" style=""> $$ \vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\int^{\infty}_{-\infty}\frac{dl \frac{r}{\sqrt{r^2+l^2}}}{(r^2+l^2)}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int^{\infty}_{-\infty}\frac{rdl}{(r^2+l^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{\mu_0}{4\pi}I\frac{rl}{r^2\sqrt{r^2+l^2}}\bigg|^\infty_{-\infty}\\=\frac{\mu_0 I}{2\pi r} $$ $$ \mu_0=\frac{1}{\varepsilon_0c^2}\equiv 4\pi\cdot 10^{-7}\frac{kg\ m}{C^2} $$ ## 线圈的磁场 <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221025234851365.png" alt="image-20221025234851365" style="zoom: 50%;" style=""> <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221025234926230.png" alt="image-20221025234926230" style="zoom:33%;" style=""> <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221025234938936.png" alt="image-20221025234938936" style="zoom:33%;" style=""> ## 螺线圈 <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221025235021435.png" alt="image-20221025235021435" style="zoom:33%;" style=""> <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221025235031045.png" alt="image-20221025235031045" style="zoom:33%;" style=""> <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221025235042127.png" alt="image-20221025235042127" style="zoom:33%;" style=""> ## 安培环路定理 B沿着任意环绕该电流的闭合电路的线积分值都相同 $$ \int \vec B\cdot d\vec l=u_0 I\\ \int \vec E\cdot d\vec l=0 $$ ### 斯托克斯定理(旋度定理) $$ \int_L \vec B\cdot d\vec l=\iint_S \nabla\times \vec{B} \cdot d\vec{S} $$ 然而在导线的外部,由毕奥萨伐尔定律得出的式子$curl\ \vec{B}=0$ 因此在导线内部,$curl \vec{B}=\mu_0 \vec{J}$ ## 霍尔效应 在垂直于通电导体的方向上施加一个磁场,就能在导体棒相对的两面上观测到电势差。该现象与导体棒内部出现的电场$E_t$是相符的,通 过测量“霍尔电压”就可以确定单位体积导体内的载流子的数量及电性。 $$ E_v+\vec{v}\times \vec{B}=0\\ E_t=-\frac{-\vec J\times \vec B}{nq} $$ 当载流子为电子时$q=-e$,因此$E_t的方向为\vec{J}\times \vec{B}$ ## 亥姆霍兹定理 由 $$ \begin{cases} \nabla\times \vec{B}=\mu_0\vec{J}\\ \nabla\cdot \vec{B}=0 \end{cases} $$ 就可以确定唯一的B,即可求出B函数的表达式 ## 矢势 一个矢量的旋度还是个矢量 $$ \nabla\times(\nabla \times A)=\mu_0\vec{J}\\ \frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})-\frac{\partial}{\partial z}(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial z})=\mu_0J_x\\ -\frac{\partial^2A_x}{\partial x^2}-\frac{\partial^2A_y}{\partial y^2}-\frac{\partial^2A_z}{\partial z^2}+\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z})=\mu_0J_x $$ $$ \because \nabla\cdot A=0\Rightarrow\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}=0\\ \Longrightarrow \frac{\partial^2A_x}{\partial x^2}+\frac{\partial^2A_y}{\partial y^2}+\frac{\partial^2A_z}{\partial z^2}=-\mu_0J_x\\ \nabla^2A=-\mu_0\vec{J}\\ $$ 形如电场中的泊松方程,所以矢势的计算和电势相似 $$ A=-\int\frac{\mu_0\vec{J}(x',y',z')dV}{4\pi |\vec{r}|}=-\int\frac{\mu_0Idl}{4\pi |\vec{r}|} $$ # Lecture 6 ## 1.均匀磁场中运动的导体 <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221106173813584.png" alt="image-20221106173813584" style="zoom:50%;" style=""> 导体以v运动,导体中带电粒子q受到一个磁场力: $$ f=qv\times B $$ 导体匀速时,分离的电荷产生一个电场,使带电粒子的受力平衡: $$ qE=-f\\ E=-v\times B=B\times v $$ ## 2.在非均匀磁场中运动 ![image-20221106210118451](https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221106210118451.png) 螺线管产生的磁场力等于回路中磁场力的线积分 $$ \int \textbf{f}\cdot d\textbf{s} =qv(B_1-B_2)w $$ **定义:**对单位电动势做的功叫电动势$\varepsilon$ $$ \varepsilon\equiv\frac1q\int \textbf{f}\cdot d\textbf{s}=vw(B_1-B_2) $$ 由上式可知:电动势与穿过环路的磁通量的变化率有关 **定理:**若在给定的参考系中磁场不随时间变化,那么无论环路以何种方式移动,环上的电动势与穿过环的磁通量Φ之间的关系为: $$ \varepsilon=-\frac{d\phi}{dt} $$ **楞次定理:**感应电动势驱动的电流所引发的磁场总是趋向于阻碍磁通量的变化。 ## 3. 电磁感应定律 $$ \varepsilon=\int_C \vec E d\vec l=-\frac{d}{dt}\int_S\vec B\cdot d\vec S $$ # Lecture 7 物质内部的磁场 ## 1.各种物质对磁场的响应 外磁场会对物质内部的磁场产生影响 用$B$和$B_0$表示真空和充满磁介质时的磁感应强度 $$ 定义\mu_r=\frac{B}{B_0} $$ $\mu_r<1$时,这种磁介质是**抗磁质** $\mu_r>1$时,这种磁介质是**顺磁质** <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221109111341821.png" alt="image-20221109111341821" style="zoom:50%;" style=""> ## 2.磁偶极子 磁偶极子是类比电偶极子而建立的物理模型。具有等值异号的**两个点磁荷构成的系统称为磁偶极子**。但由于没有发现单独存在的磁单极子,故我们将一个**载有电流的圆形回路作为磁偶极子**的模型。 <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221109120132163.png" alt="image-20221109120132163" style="zoom: 33%;" style=""> $$ A(0,y_1,z_1)=\vec x\frac{\mu_0I}{4\pi}\int\frac{dl}{r}\\ A=\frac{\mu_0 I a\sin \theta}{4\pi r^2} 与形状无关 $$ ## 定义 **磁偶极矩**为环路电流和环路面积的乘积 $$ \vec{m}=I\vec{a} $$ $$ 空间中一点的矢势A=\frac{\mu_0 Ia\sin\theta}{4\pi r^2}=\frac{\mu_0\vec{m}\times\hat{r}}{4\pi r^2} $$ ``` 电偶极子 磁偶极子 ``` <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221113213410901.png" alt="image-20221113213410901" style="zoom: 35%;" style=""><img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221113213417254.png" alt="image-20221113213417254" style="zoom: 35%;" style=""> $$ \begin{cases} \displaystyle \varphi(r)=\frac{\hat{r}\cdot \vec p}{4\pi \varepsilon_0r^2}\\ \displaystyle E_x=\frac{3p\sin \theta \cos \theta}{4\pi \varepsilon_0 r^3}\\ \displaystyle E_z=\frac{p(3\cos^2\theta-1)}{4\pi \varepsilon_0 r^3} \end{cases} \begin{cases} \displaystyle \varphi(r)=\frac{\mu_0\vec m\times\hat{r}}{4\pi r^2}\\ \displaystyle B_x=\frac{3m\mu_0\sin \theta \cos \theta}{4\pi r^3}\\ \displaystyle B_z=\frac{m\mu_0(3\cos^2\theta-1)}{4\pi r^3} \end{cases} $$ ## 3.外部磁场影响物体内部的磁场(分子电流理论) 外部磁场是怎么影响物质内部磁场的呢? 物质内部存在原子,原子的电子绕核运动,自旋,这些运动都可以被等效成微小的圆电流,因此物质有一个原生磁矩$m_0$ 在外磁场下,物质会产生一个**附加磁矩**$\Delta m$,且**方向一定和外加磁场方向相反** 由于实验室能产生的外部磁场太小,分子产生的附加磁矩要比分子的固有磁矩小5个数量级,可以忽略不计 ## 4.磁介质的磁化 在外部磁场施加到物质之前,除了永磁体,大多数物质原有的磁矩是杂乱无章的,**磁矩为0** 对于一块顺磁质来说,它分子的固有磁质要沿着磁场方向取向,**增强原有磁场** 对于抗磁质来说,它的固有磁矩为0,分子产生相反的感生磁矩不可忽略,感生磁矩和原有磁场相反,**减弱原有磁场** 磁介质磁化之后,**所有磁矩的矢量和不再为0** 定义磁化强度$\vec M$:单位体积内的分子磁矩的矢量和 于是有定义式: $$ \vec M=\frac{\sum \vec m_{分子}}{\Delta V} $$ 磁化强度决定式 $$ \vec M=X_m\frac{\vec B}{\mu_0}=\frac{\mu_r-1}{\mu_r}\frac{\vec B}{\mu_0} $$ 其中 $$ X_{pm}=\frac{M}{\frac{B}{\mu_0}}\approx \frac{\mu_0Nm^2}{kT} $$ ## 束缚电流 磁介质受到到磁场的作用后,会产生一个和原有磁场相同或相反的磁矩 ### 对于均匀磁化的物质 <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221231115713716.png" alt="image-20221231115713716" style="zoom:50%;" style=""> 取一个微小体积的物质,$\vec M$是单位体积的磁矩,$da和dz$分别是面积和厚度,则 $$ \vec m=\vec M da dz $$ 根据磁偶极子的环流等效模型 $$ \vec m=Id\vec a $$ 代入上式得 $$ Id\vec a=\vec M da dz\\ Ida \vec e_n=Mdadz\vec e_n\\ I=Mdz $$ 得到的模型如下图 <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221231115752880.png" alt="image-20221231115752880" style="zoom:50%;" style=""> 将该微元横向拓展 <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221231120555265.png" alt="image-20221231120555265" style="zoom:50%;" style=""> 外表面的电流大小就等于微元的环流大小:$Mdz$ 因此我们得到**表面电流密度**为$\mathcal{J}=M$,单位为$A/m$ ![image-20221231125048350](https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221231125048350.png) 最终在磁介质的外表面拼接形成一个小电流,被称为**束缚电流、磁化电流** ### 不均匀磁化的物质 $$ \vec J=\nabla\times \vec M $$ ## H环路定理 任一点的磁感应强度$\vec B$是自由电流产生的磁场和束缚电流产生的磁场之和 $$ B=B_0+B' $$ 磁介质中的安培环路定理 $$ \oint_L\vec Bdl=\mu_0[\sum_{(L内)}\vec I_0+\sum_{L内}I'] $$ 其中$\displaystyle\sum_{L内}I',\sum_{(L内)} I_0$分别是穿过安培环路L的传导电流和磁化电流的总和 $$ \oint_{(L)}\vec M\cdot d\vec s=\sum_{(L内)}\vec I' $$ $$ \frac1{\mu_0}\oint_{L}\vec B\cdot d\vec l-\oint_{(L)}\vec M\cdot d\vec l=\sum_{(L内)}\vec I_0 $$ 定义磁场强度$\vec H$ $$ \vec H=\frac{\vec B}{\mu_0}-\vec M $$ 得到$\vec H$满足的安培环路定理 $$ \oint \vec H\cdot d\vec l=\sum_{(L内)}I_0 $$ 真空中 $\vec M=0$ $$ \vec H=\frac{\vec B}{\mu_0} $$ 在介质中$\vec M=\frac{\mu_r-1}{\mu_r}\frac{\vec B}{\mu_0}$ $$ \vec H=\frac{\vec B}{\mu_0}(1-\frac{\mu_r-1}{\mu_r})=\frac{\vec B}{\mu_0}\frac{1}{\mu_r} $$ ### 介质和真空中的磁场对比 $B_0$真空中某处的磁感应强度,由 $$ \oint \vec H\cdot d\vec l=\sum_{(L内)}I_0=\frac{\oint \vec B_0d\vec l}{\mu_0} $$ 所以 $$ \vec H=\frac{\vec B}{\mu_0}\frac{1}{\mu_r}=\frac{\vec B_0}{\mu_0}\\ \vec B=\mu_r \vec B_0 $$ # Lecture 8 麦克斯韦方程组 ## 高斯定理 真空中静电场的高斯定理:通过任意闭合曲面(或称高斯面)a 的电通量等于该面内全部电荷的代数和Q除以$\varepsilon_0$,与面外的电荷无关。 $$ \oiint_S\vec{E}\cdot d\vec{a}=\frac{1}{\varepsilon_0}\iiint_V\rho dv=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_iq_i $$ $$ \nabla\cdot \vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_0} $$ ## 安培环路定理 B沿着任意环绕该电流的闭合电路的线积分值都相同 $$ \oint_C \vec B\cdot d\vec l=u_0 I\\ \oiint_S \nabla \times B\cdot d\vec a=u_0\oiint_S\vec J\cdot d\vec a \\ \nabla\times \vec B=\mu_0\vec J\\ \nabla\cdot \vec B=0 $$ ## 电磁感应定律 $$ \varepsilon=\int_C \vec E d\vec s=-\frac{d}{dt}\int_S\vec B\cdot d\vec S=-\frac{d\Phi}{dt}\\ \oiint_S\vec E\cdot d\vec a=-\frac{d}{dt}\oiint_S\vec B\cdot d\vec a\\ \nabla\times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t} $$ ## 稳恒电流和电荷守恒 运动的电荷是电流 $$ \oiint_S \vec J\cdot d \vec a=-\frac{d}{dt}\iiint_V\rho dv\\ \nabla \cdot \vec J=\frac{\partial \rho}{\partial t}\neq 0\\ $$ 由安培环路定理 $$ \nabla\times \vec B=\mu_0\vec J\\ \nabla\cdot(\nabla\times \vec B)=\mu_0\nabla \cdot \vec J\\ 而任何矢量函数的旋度的散度都等于0\\ \nabla \cdot \vec J=0与前面矛盾 $$ #### 为什么矛盾? 因为忽略了**变化的电场可以产生额外的磁场** 首先,由法拉第电磁感应定律 $$ \nabla\times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}\\ \nabla\times \vec E=-\frac{1}{c}\frac{\partial (c\vec B)}{\partial t}\\ 大胆假设,若电场和磁场存在对称的变换,则\\ \nabla\times \vec B=\frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec E}{\partial t}\Rightarrow \nabla\times \vec B=\mu_0 \varepsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t} $$ 因此修正安培环路定律 $$ \nabla\times \vec B=\mu_0\vec J+\mu_0 \varepsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t} $$ ## 2.位移电流 定义一个量描述电流的变化量 $$ \vec J_d\equiv \varepsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t} $$ 于是有 $$ \nabla \times B=\mu_0 (\vec J+\vec J_d)\\ $$ **但是为什么法拉第没发现?** <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221126221924066.png" alt="image-20221126221924066" style="zoom:50%;" style=""> 左边的位移电流产生的磁场和右边的位移电流产生的磁场相互抵消 ## 3.麦克斯韦方程组 $$ \begin{cases} \displaystyle\nabla\times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}\\ \nabla \times \vec B=\mu_0 (\vec J+\vec J_d)& \\ \displaystyle\nabla\cdot \vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\\ \nabla\cdot \vec B=0 \end{cases} $$ in empty space $$ \nabla\times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t},\nabla\cdot \vec E=0\\ \nabla \times \vec B=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t},\nabla\cdot \vec B=0 $$ ## 4. 电磁波 $\because A\times(B\times C)=B(A\cdot C)-C(A\cdot B)$ $$ \nabla \times (\nabla\times \vec E)=\nabla(\nabla \cdot E)-E(\nabla\cdot \nabla)\\ =\nabla(\nabla \times E)-\nabla ^2 E $$ $\displaystyle \nabla\times E=-\frac{\partial B}{\partial t}$ $$ \nabla(\nabla \cdot E)-\nabla^2 E=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times B) $$ $\nabla\cdot E=0,\nabla \times \vec B=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t}$ $$ 0-\nabla^2E=-\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t})\\ \nabla ^2E =\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} $$ 满足波动方程 $$ \frac{\partial^2f}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2f}{\partial t^2} $$ 因此 <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221127220532992.png" alt="image-20221127220532992" style="zoom: 33%;" style=""> $$ \vec E=\hat zE_0\sin(y-vt)\\ \vec B=\hat xB_0\sin (y-vt) $$ ### 传播方向 $$ \vec B=\frac{\vec c \times \vec E}{c^2} $$ ## 电磁波传输的能量 $$ \nabla\times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}\\ \nabla \times \vec B=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t} $$ $$ \vec E=\hat zE_0\sin(y-vt)\\ \vec B=\hat xB_0\sin (y-vt) $$ 但是事实上 $$ \curl (\hat zE_0\sin(y-vt))=\hat x E_0 \cos(y-vt)=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}=-v\hat x B_0cos(y-vt) $$ 所以 $$ E_0=vB_0 $$ 同理可得 $$ B_0=\mu_0\varepsilon_0 vE_0 $$ $$ v=\pm\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}=\pm c $$ ![image-20221127230910240](https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221127230910240.png) ## 能量密度 电场能量 $$ \frac12\varepsilon_0 E^2 $$ 磁场能量 $$ \frac{B^2}{2\mu_0} $$ ## 坡印延矢量 能流密度: $$ \mathcal U=\frac12\varepsilon_0 \vec E^2+\frac{1}{2\mu_0}\vec B^2 $$ 能量密度的变化速率: $$ \frac{\partial\mathcal U}{\partial t}=\varepsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t}\cdot \vec E+\frac{1}{\mu_0}\frac{\partial \vec B}{\partial t}\cdot \vec B $$ 由麦克斯韦方程组 $$ \begin{cases} \nabla\times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}\\ \nabla \times \vec B=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t} \end{cases} $$ 上式可以改写为 $$ \frac{\partial\mathcal U}{\partial t}=\frac{1}{\mu_0}(\nabla \times \vec B)\cdot \vec E-\frac{1}{\mu_0}(\nabla\times \vec E)\cdot \vec B $$ 由点乘和叉乘的性质 $$ \nabla \cdot(C\times D)=(\nabla\times C)\cdot D-(\nabla\times D)\cdot C $$ $$ \frac{\partial\mathcal U}{\partial t}=\frac{1}{\mu_0}\nabla \cdot (\vec B\times \vec E)=-\frac{1}{\mu_0}\nabla \cdot (\vec E\times \vec B) $$ 因此坡印延矢量 $$ \vec S\equiv\frac{1}{\mu_0}(\vec E\times \vec B) $$ 于是 $$ 能量密度:-\frac{\partial \mathcal{U}}{\partial t}=\nabla \cdot \vec S\\ 电流密度:-\frac{\partial \rho}{\partial t}=\nabla\cdot \vec J $$ # Lecture 9 ## 光的三大定律 1.直线传播定律 2.反射定律 3.折射定律 <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221204184851282.png" alt="image-20221204184851282" style="zoom: 33%;" style=""> $$ \frac{\sin i_1}{\sin i_2}=\frac{v_1}{v_2}=const=n_{12}=\frac{n_2}{n_1} $$ ## 惠更斯原理 光扰动同时到达的空间曲面被称为波面或波前,波前上的每一点都可以看成一个新的扰动中心,称为子波源或次波源,次波源向四周发出次波;下一时刻的波前是这些大量次波面的公切面,或称为包络面;次波中心与其次波面上的那个切点的连线方向给出了该处光传播方向。 ## 光参数 - 波速:$v=f\lambda$ (波速的普适定义:频率乘波长) - 波速 :$c=f_0\lambda_0$ 介质中的光速:$v=f\lambda$ - 折射率:$\displaystyle n=\frac{f_0\lambda_0}{f\lambda}$ 在线性介质中:$f_0=f$,所以$\displaystyle n=\frac{\lambda_0}{\lambda}$或$\displaystyle\lambda=\frac{\lambda_0}{n}$ - 光程:光线路径的几何长度与所经过的介质折射率的乘积 ## 波的叠加 对于同频率、同振动方向的单色光 $$ U_1(P)=A_1(P)cos[\omega t-\varphi_1(P)]\\ U_2(P)=A_2(P)cos[\omega t-\varphi_2(P)]\\ $$ 合振动可表示为 $$ U=U_1+U_2=A(P)cos [\omega t-\varphi(P)] $$ 振幅 $$ A^2(P)=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos(\varphi_2-\varphi_1) $$ 因此光强 $$ I(P)=I_1(P)+I_2(P)+2\sqrt{I_1(P)I_2(P)}cos(\varphi_2-\varphi_1) $$ ## 杨氏双缝干涉 ![image-20230102151147836](https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20230102151147836.png) 明纹: $$ \delta=r_2-r_1=d\sin \theta=\pm k\lambda $$ 在$\theta$很小的时候,$\sin\theta\approx tan\theta$ $$ d\tan \theta=\pm k\lambda\\ 明纹:d\frac{x}{D}=k\lambda\\ 暗纹:d\frac{x}{D}=(k+\frac12)\lambda $$ $$ \Delta x=\frac{D}{d}\lambda $$ ## 薄膜干涉(一)------等厚干涉 <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221207111843122.png" alt="image-20221207111843122" style="zoom:50%;" style=""> 在$\theta$很小的时候,折射可以忽略,光程差为$2h$ 当光程差为$2n$倍半波长时,即$n$倍波长时 光强$I(P)=I_1(P)+I_2(P)+2\sqrt{I_1(P)I_2(P)}cos(\varphi_2-\varphi_1)$最大 $2h=2n\frac\lambda2$ 当光程差为$2n+1$倍半波长时 光强$I(P)=I_1(P)+I_2(P)+2\sqrt{I_1(P)I_2(P)}cos(\varphi_2-\varphi_1)$最小 $2h=(2n+1)\frac\lambda2$ 明暗直接条纹的垂直距离 $\Delta h=h_{k+1}-h_{k}\approx\frac{\lambda}{2}$ ## 薄膜干涉(二)------等倾干涉 ![image-20221207115343311](https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221207115343311.png) ![image-20221207115357077](https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221207115357077.png) ![image-20230102150129436](https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20230102150129436.png) ## 相干光 两列光能产生稳定分布的干涉现象的条件: - 振动方向相同 - 频率相同 - 稳定的相位差 ## 相干长度 <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221207115802334.png" alt="image-20221207115802334" style="zoom:50%;" style=""> # Lecture 10 光的衍射 波的衍射:波动遇到障碍时,能够绕过障碍物,并在其后的几何阴影区内造成一定的强度分布。这种偏离直线传播的现象称为衍射。 ## 衍射的三个特征: 1)衍射光波使物体的几何阴影失去清晰的轮廓,出现明暗相间的干涉条纹——衍射现象与某种复杂的干涉效应密切相关。 2)光束在物体上某一方向受到限制,则接收屏上的衍射图形就在该方向展开,且限制越严,扩展越烈。 3)当缝(或孔)宽d > 1000λ 时,光表现出直线传播特性 当d=10λ-1000λ时,衍射现象明显。 当d>λ时,出现衍射 当d≈λ时,向光的散射过渡 ## 衍射是相干次波的叠加 - 次波中心都是取在同一列光波上,因而是相干的 - 同一列波上的次波:相干叠加,光强取决于相位差 - 不同波列上的次波:非相干叠加,强度相加 ## 衍射的分类 i) 菲涅耳衍射 光源或接收屏与衍射屏的距离(至少有一个)为有限远 <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221214234105695.png" alt="image-20221214234105695" style="zoom:25%;" style=""> ii) 夫琅和费衍射 光源和接收屏与衍射屏的距离均为无限远 无限远可以通过透镜变换实现 <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20221214234125387.png" alt="image-20221214234125387" style="zoom:25%;" style=""> ![image-20230103081233049](https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20230103081233049.png) 暗条纹中心 $$ a\sin\theta=\pm k\lambda $$ 明条纹中心 $$ a\sin\theta=\pm(2k+1)\frac{\lambda}{2} $$ 中央明纹的**半角宽度** $$ \theta \approx \sin\theta=\frac{\lambda}{a} $$ 以$f$表示透镜$L$的焦距,则得到**中央明条纹的线宽度**为,为其他明条纹宽度的两倍 $$ \Delta x=2f\tan\theta\approx2 f\sin\theta=2f\frac{\lambda}{a} $$ 上式表明中央明纹的宽度**正比于波长$\lambda$,反比于缝宽$a$**,这一关系又称为**衍射反比律** 而几何光学是波动光学在$\frac{\lambda}a\rightarrow 0$的极限情形 次极大值的位置 $$ \alpha=\tan\alpha $$ ## 光栅衍射 许多等宽的狭缝等距离排列起来形成的光学元件叫**光栅** <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20230103091233197.png" alt="image-20230103091233197" style="zoom:50%;" style=""> <img src="https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20230103091300746.png" alt="image-20230103091300746" style="zoom: 50%;" style=""> 相邻两个光缝的光程差等于$d\sin\theta$ $$ d\sin\theta=\pm k\lambda $$ 明条纹对应的光强极大值叫**主极大** 决定主极大位置的式子叫做**光栅方程** 当光栅最上面一套缝和最下面一条缝光程差等于波长$\lambda$,即 $$ Nd\sin \Delta \theta =\lambda $$ 可以看出,$N$越大,明条纹会变得更窄 $$ \Delta \theta\approx\sin \Delta \theta=\frac{\lambda}{Nd} $$ 中央明条纹的角宽度将是 $$ 2\Delta\theta=\frac{2\lambda}{Nd} $$ 而明条纹的间距为 $$ \theta_1-\theta_0=\frac{\lambda}{d} $$ 当N很大时,明条纹的宽度远小于明条纹的间距,因此这样的明条纹叫光谱线 ## 光学仪器的分辨本领 ### 艾里斑 $$ \Delta\theta_0\approx 1.22\frac{\lambda}{D},D=2R为圆孔直径 $$ 夫琅禾费衍射普遍存在在一切有限孔径的成像系统中 ![image-20230103105917156](https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20230103105917156.png) ![image-20230103105951981](https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20230103105951981.png) ![image-20230103110004436](https://heaticy-1310163554.cos.ap-shanghai.myqcloud.com/markdown/image-20230103110004436.png) 最后修改:2024 年 04 月 15 日 © 允许规范转载 打赏 赞赏作者 支付宝微信 赞 如果觉得我的文章对你有用,请随意赞赏